А.А. Борисяк родился в семье межевого инженера, агента по отчуждению земель при постройке железных дорог. Его дед по линии отца, Никифор Дмитриевич Борисяк, был профессором геологии и минералогии Харьковского университета, одним из первых исследователей Донецкого каменноугольного бассейна. По материнской линии Борисяк – внук одного из героев Севастопольской кампании 1855—1856 гг., полковника Ползикова. В 1891 г. А.А. Борисяк окончил с золотой медалью гимназию в г. Самаре и поступил на естественное отделение физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета. В 1892 г. по настоянию отца перевелся в Санкт-Петербургский горный институт, который окончил в 1896 г. В 1897—1898 гг. прослушал полный курс зоологии в Санкт-Петербургском университете, получив, таким образом, в дополнение к геологическому еще и биологическое образование. С 1896 г. по 1930 г. работал в Геологическом комитете (Геолком) сначала внештатным стажером, через год, в 1897 г., был зачислен на штатную должность помощника геолога, в 1907 г. избран старшим геологом. В 1920—1930 гг. заведовал палеонтологической секцией и монографическим сектором Геолкома. Также был профессором Географического (1919—1922 гг.) и Горного (1921—1930 гг.) институтов. Кроме того, с 1918 г., по приглашению акад. Ф.Н. Чернышева, директора Геологического и минералогического музея им. Петра Великого (единственного в то время геологического учреждения Академии наук), Борисяк начал работать в этом музее и в 1921—1925 гг. руководил его геологическим отделением. В 1925 г., когда музей в связи с 200-летним юбилеем Академии наук был разделен на Минералогический и Геологический музеи, он возглавил остеологический отдел Геологического музея им. Петра Великого. В 1930 г. организовал и возглавил Палеозоологический институт АН СССР. В 1934 г. институт был включен в состав Института эволюционной морфологии и палеозоологии в Москве, и Борисяк стал заместителем академика А.Н. Северцова, назначенного директором нового института. В 1936 г. Палеозоологический институт был выделен в самостоятельное учреждение АН, но уже под своим нынешним названием – Палеонтологический институт. Его первым директором с 1936 и до конца жизни был А.А. Борисяк. Кроме того, в 1939 он организовал и до 1942 заведовал кафедрой палеонтологии на геолого-почвенном факультете МГУ.
А.А. Борисяк – один из основоположников и организаторов палеонтологических исследований в нашей стране, основатель отечественной школы палеонтологов, однако его научные труды посвящены не только палеонтологии, но и проблемам региональной и исторической геологии, истории жизни на Земле, учению о фациях, анализу физико-географических условий отложения осадков и жизни морской фауны, тектонике, подземным водам, истории и методологии науки и др.
