\documentstyle{article}
\voffset=-100pt
\hoffset= -80pt
\textwidth =16cm
\textheight =24cm
\parindent=24pt
\unitlength=1mm
%\parindent=20pt
%\pagestyle{empty}
\font\cmla = cmmib10 scaled 1440
\font\cml = cmmib10 scaled 1200
\font\cma = cmsy10 scaled 1200
\newcommand{\dls}{\everymath{\displaystyle}}
\newcommand{\nz}[1]{{\mbox{\cml A}}_{\!\!\!\mbox{\small \bf #1}}}
\begin{document}


\baselineskip 16pt
   \begin{xivpt}
\begin{sloppypar}


\noindent     УДК  519.6

\vspace{24pt}
\begin{center}
 {\bf                   А.П. АБРАМОВ}
\vspace{6pt}

{ \bf   СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ТОЧЕК \\
В МОДЕЛИ ВНЕШНЕГО ДОЛГА }

\end{center}
\vspace{12pt}


    Объектом исследования является экономическая система на
временн\'{о}м отрезке $[0, T]$, все переменные которой неотрицательны и
нормированы на одного работника. Полагая, что производственная
функция системы имеет постоянную отдачу от масштаба [1, 2], будем
считать, что связь между фондовооруженностью труда
$k = k(t)$  и его производительностью $y = y(t)$ определяется функцией
вида
                     $$   y = f(k),  $$
где $f(k)$  удовлетворяет  неоклассическим  условиям $f'(k) > 0$,
$f''(k) < 0$  [2].

     Динамика фондовооруженности задана уравнением
                $$ \dot k = sf(k) - \mu k - e + i_k, $$
где $s = s(t)$ - норма сбережения, $\mu$ - коэффициент амортизации,
$e = e(t)$ - объем  экспорта, $i_k  = i_k(t)$ - объем  инвестиций  по
импорту. Норма сбережения должна удовлетворять очевидному ограничению
    $$ 0 \le s(t) \le 1, \quad   t \in [0, T]. $$
Объем потребления $c = c(t)$  определяется так:
              $$    c = (1-s)f(k) - e + i_c , $$
где $i_c  = i_c(t)$ - объем потребления импортных товаров.

     Динамика внешнего долга $d = d(t)$  описывается уравнением
     $$ \dot d = \alpha d - e + i_c  + i_k,  \eqno{(1)} $$
где $\alpha$ - некоторая константа. Предполагается, что объем
потребления не может быть меньше некоторого минимального значения:
        $$  c(t) \ge c_{min}, \quad   t \in [0, T]. $$
Уровень фондовооруженности не  должен  падать  ниже  некоторого
критического уровня:
   $$ k(t) \ge  k_{min} , \quad t \in [0, T].  \eqno{(2)} $$
Начальное состояние системы известно:
         $$  k(0) = k_0 ,  \quad  d(0) = d_0 .   $$
В классе кусочно-непрерывных на $[0, T]$ функций требуется  найти
такие управления $s^*(t)$, $e^*(t)$, $i^*_k(t)$, $i^*_c(t)$, которые
минимизируют терминальное состояние внешнего долга:
                   $$ d(T) \to  min. $$

     Пусть  на  оптимальной  траектории  выполнено  ограничение
$c(t )= c_{min}.$  Введем обозначения
$$ \phi(k,s) = c_{min} - c \le 0; \quad \phi_1(s) = -s \le 0;
\quad  \phi_2(s) = s-1 \le 0. $$
Выпишем условия существования нерегулярной (фазовой) точки:
$$ \lambda\frac{\partial \phi}{\partial s} +
\lambda_1\frac{\partial \phi_1}{\partial s} = 0, \quad
\lambda + \lambda_1 = 1, \quad \lambda \ge 0, \quad
 \lambda_1 \ge 0,
\quad \lambda \phi = 0, \quad \lambda_1 \phi_1 = 0. $$
Отсюда следует
$$ \lambda f(k) - \lambda_1 = 0, \quad
\lambda + \lambda_1 = 1, \quad
\lambda \phi = 0, \quad \lambda_1 \phi_1= 0.  \eqno{(3)} $$
Из условия (2) и свойств производственной функции вытекает, что
$f(k) > 0,$  поэтому система (3) имеет нетривиальное решение.
Cледовательно, нерегулярные точки существуют и определяются
системой соотношений
$$ f(k) - e + i_c  = c_{min}, \quad
\lambda = 1/(1 + f(k)), \quad
\lambda_1 = f(k)/(1 + f(k)). $$
Множители Лагранжа $\lambda$, $\lambda_1$  и управление $s(t) = 0$
определяются однозначно в нерегулярной точке.
В этом случае для поставленной
задачи выполняется принцип максимума  $\Pi_0$ [3].

     На ограничении $\phi(k,s) = 0$ оптимальное управление имеет вид
$$ s = (f(k) - e + i_c  - c_{min})/f(k).   $$
Вычислим $\dot s:$
$$ \dot s = (\dot f(k) - \dot e + \dot i_c )/f(k).   \eqno{(4)} $$
Используя (1), имеем
$$ \dot i_c - \dot e = \ddot d - \alpha \dot d - \dot i_k.
 \eqno{(5)} $$
Если считать, что $\ddot d > 0$, $\dot d < 0$, а
$ i_k \equiv 0$, то из (4) и (5) следует,
что случай $\dot s = 0$  возможен только при условии
$\dot f(k) < 0$,
т.е. при падении производительности труда, а для ее  сохранения
$(\dot f(k) = 0)$  необходимо, чтобы скорость роста инвестиций по  импорту
удовлетворяла условию
$$ \dot i_k =\ddot d - \alpha \dot d > 0. $$
Вычислим в той же точке $\ddot s:$
$$ \ddot s = (\ddot f(k) - \ddot e + \ddot i_c)/f(k) -
 \dot s \dot f(k)/f(k) = (\ddot f(k) - \ddot e + \ddot i_c )/f(k). $$
Предполагая, что $\frac{d^3}{dt^3}d \approx 0$, из (5) имеем
$$ \ddot i_c - \ddot e \approx  - \alpha \ddot d - \ddot i_k . $$
Тогда условие $\ddot s  > 0$  будет выполнено, если
$$       \ddot f(k) > - \alpha \ddot d - \ddot i_k .  $$
Так как $- \alpha \ddot d < 0$, а из  общеэкономических  соображений
можно считать, что $\ddot i_k  < 0$, то при выполнении условия
$$ - \alpha \ddot d - \ddot i_k  > 0 $$
для гладкого контакта с нерегулярной точкой заведомо должно
выполняться неравенство $\ddot f(k) > 0.$ На языке экономики оно
означает,
что в рассматриваемой модели инвестиции по  импорту  должны
использоваться с очень высокой эффективностью.
\\
\\
\indent  Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (код проекта 96-01-00982).


\newpage
\centerline{\bf  Литература}
\vspace{12pt}

     \begin{enumerate}
\item
      Ю.П. Иванилов, А.В. Лотов. Математические модели в
экономике. М., Наука, 1979.
\item
     С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. М., Наука, 1984.
\item
     А.П. Афанасьев, В.В. Дикусар, А.А. Милютин, С.А. Чуканов.
     Необходимое условие в оптимальном управлении. М., Наука, 1990.
    \end{enumerate}
\\
\\

\newpage
     \thispagestyle{empty}


\noindent     УДК 519.6.

\vspace{12pt}
\begin{center}
{\bf     Абрамов А.П.
\vspace{12pt}

Существование нерегулярных точек в модели внешнего долга.
}
\end{center}
\vspace{12pt}

     Рассматривается экономическая система с конечным  горизонтом
 планирования, в которой управлениями являются норма  сбережения,
 объемы импорта и экспорта, а фазовыми переменными - фондовооруженность,
 внешний долг и уровень  потребления.  Показано 
существование нерегулярных точек в этой модели и приведена
 экономическая интерпретация соответствующих условий. 
Библиогр. 3 назв.  

     Abramov A.P. Existence of Nonregular Points in a Model  of 
an External Debt.  


\end{sloppypar}
\end{xivpt}

\end{document}

