\documentstyle[russian,12pt]{article}

\begin{document}

\baselineskip 16pt


\noindent     УДК  517.977

\vspace{24pt}
\begin{center}
 {\bf                   А.П. АБРАМОВ}
\vspace{6pt}

{ \bf   НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ТОЧКИ \\
В ОДНОЙ МОДЕЛИ "СЕРОЙ" ЭКОНОМИКИ }

\end{center}
\vspace{12pt}


    Объектом исследования является полукриминальная ("серая")
открытая экономическая система на
конечном горизонте планирования  $[0, T]$, все переменные
которой неотрицательны и
нормированы на одного работника.
Характерной чертой такой экономической системы является то,
что все свободные финансовые ресурсы частного сектора экономики
переводятся за рубеж и/или
вкладываются в высокодоходные государственные
ценные бумаги. Такое поведение частного
сектора объясняется тем, что соответствующие
производственные фонды были ими получены фактически
бесплатно в процессе приватизации госсобственности и у собственников
нет уверенности в необратимости этого процесса.
Как следствие, инвестиции в реальный сектор экономики
осуществляются только за счет государственного бюджета.
Разумеется, данная модель является весьма упрощенной, однако
ее изучение позволяет определить качественное поведение
некоторых реальных экономических процессов.

Полагая, что производственная
функция системы имеет постоянную отдачу от масштаба [1, 2], будем
считать, что связь между фондовооруженностью труда
$k = k(t)$  и его производительностью $y = y(t)$ определяется функцией
вида
$y = f(k)$,
где $f(k)$  удовлетворяет  неоклассическим  условиям $f'(k) > 0$,
$f''(k) < 0$  [2].

     Динамика фондовооруженности задана уравнением
                $$ \dot k = - \mu k + s,  \eqno(1) $$
где  $\mu$ -- коэффициент амортизации,
$s = s(t)$ -- поток инвестиций.

Предполагается, что государственный бюджет системы образуется из
налоговых поступлений, которые равны $r y(t)$, где
параметр $r$, $0 < r < 1$ отражает как ставку налога, так
и уровень их собираемости.
Оставшаяся часть потока
$z(t) \equiv (1-r)y(t)$ остается в распоряжении
"серой" экономики. При этом "серая" экономика обеспечивает
поток конечного потребления
$c_z(t) \equiv \alpha z(t)$, где
$\alpha$ -- некоторая константа, $0 < \alpha < 1$.
Будем предполагать, что
данный показатель потребления ниже минимально
необходимого уровеня  $c_{\min}$.
Как следствие, государство обеспечивает часть потребления
в объеме $c_g(t)$  за счет собственных
ресурсов. Таким образом, общий поток потребления $c =c(t)$ равен
$$   c(t) = c_z(t) + c_g(t).  $$
При этом выполняется ограничение
$$ c(t) \ge c_{\min}, \quad t \in [0, T]. \eqno(2) $$

В модели предполагается, что на отрезке $[0, \tau]$,
$\tau < T$
налоговые поступления недостаточны
для финансирования государственных расходов, и что
государство имеет возможность
финансировать дефицит бюджета за счет привлечения средств
частного сектора. Для простоты, будем
считать, что заимствования осуществляются по схеме
государственных краткосрочных облигаций (ГКО) [3], т.е.
государство размещает ценные бумаги с дисконтом от номинальной
стоимости на фиксированный срок $\delta$, а по его истечению
выкупает облигации по номинальной стоимости. Формально,
данная схема заимствований описывается так: если в момент
$t$ поток заимствований равен $u(t)$, то поток возвращаемых
денег в момент $t+\delta$ составляет $pu(t)$,
где $p > 1$ -- коэффициент характеризующий доходность
инвестирования в ценные бумаги.

Таким образом, баланс денежных поступлений и расходов
государства имеет вид
$$ r y(t) + u(t)  =
c_g(t) + s(t) + p u(t-\delta),   $$
а динамика внутреннего государственного долга
$d = d(t)$  описывается уравнением
 $$ \dot d(t) = p u(t) - p u(t-\delta).  \eqno(3) $$

Аналогичный баланс денежных поступлений и расходов для частного
сектора имеет вид

$$ (1-r)y(t) + p u(t-\delta) =
c_z(t) + u(t) + e(t),   $$
где $e(t)$ -- поток экспорта капитала.

Начальное состояние системы известно:
 $ k(0) = k_0$.
Кроме того, известно поведение функции $u(t)$ на $[-\delta, 0]$.
В классе кусочно-непрерывных на $[0, T]$ функций требуется  найти
такие управления $s^*(t)$, $u^*(t)$, которые
максимизируют терминальную производительность:
                   $$ y(T) \to  \max. $$

     Пусть  на  оптимальной  траектории  выполнено  ограничение
$c(t )= c_{\min}.$  Введем обозначения
$$ \phi_1(k,u,s) = c_{\min} - c \le 0; \quad \phi_2(s) = -s \le 0. $$
Выпишем условия существования нерегулярной (фазовой) точки [4]:
$$ \begin{array}{c}
\lambda_1{\partial \phi_1}/{\partial s} +
\lambda_2{\partial \phi_2}/{\partial s} = 0, \quad
\lambda_1 + \lambda_2 = 1, \quad
 \lambda_1 \ge 0, \quad
 \lambda_2 \ge 0,  \\ \\
\lambda_1 \phi_1 = 0, \quad \lambda_2 \phi_2 = 0.
\end{array} $$
Отсюда следует
$$ \lambda_1 - \lambda_2 = 0, \quad
\lambda_1 + \lambda_2 = 1, \quad
\lambda_1 \phi_1 = 0, \quad \lambda_2 \phi_2= 0.  \eqno(4) $$
Система (4) имеет очевидное нетривиальное решение
$$\lambda_1 = \lambda_2 = 0.5, \quad s(t)=0,
\quad (\alpha + r -\alpha r) f(k) + u(t) - pu(t-\delta) - s(t) =
c_{\min}. $$
Cледовательно, нерегулярные точки существуют.
Так как множители Лагранжа $\lambda_1$, $\lambda_2$  и управление
определяются однозначно в нерегулярной точке, то
для поставленной задачи выполняется принцип максимума  $\Pi_0$ [4].

  На ограничении $\phi_1(k,u,s) = 0$ оптимальное управление имеет вид
$$ s(t) = (\alpha + r - \alpha r) f(k) + u(t) - p u(t-\delta) -
c_{\min}.   $$
При плохой собираемости налогов можно считать, что
$ (\alpha + r - \alpha r) f(k) - c_{\min} < 0$,
тогда из условия $s(t) = 0$ следует, что
$u(t) - p u(t-\delta) > 0$ и из (3) видно, что
в нерегулярной точке внутренний долг должен расти.

Вычислим $\dot s:$
$$ \dot s = (\alpha + r - \alpha r) \dot f(k) + \dot u(t)
- p \dot u(t - \delta). $$
Так как $s(t) =0$, то из (1) следует, что
$\dot k < 0$. Это означает, что
$\dot f(k) < 0$ и случай $\dot s = 0$ возможен, если только
$ \dot u(t) - p \dot u(t - \delta) > 0$, т.е. для внутреннего
долга в нерегулярной точке должно выполняться условие
$\ddot d > 0$.

Вычислим в той же точке $\ddot s:$
$$ \ddot s = (\alpha + r - \alpha r) \ddot f(k) + \ddot u(t)
- p \ddot u(t - \delta).  \eqno(5) $$
Так как $\ddot f(k) = f''(\dot k)^2 + f' \ddot k$, то в (5)
$\ddot f(k)$ имеет порядок $\mu^2$ и можно считать, что
знак $\ddot s$ определяется знаком величины
$\ddot u(t) - p \ddot u(t-\delta)$.
Таким образом,
при гладком контакте траектории системы с нерегулярной точкой
должно выполняться неравенство $d^3/dt^3 \, d > 0$.
С точки зрения экономики эта ситуация интерпретируется
так: пытаясь предотвратить социальный взрыв, который
может быть вызван обнищанием населения (нарушение ограничения (2)),
государство
вынуждено наращивать внутренний долг со все возрастающим темпом.
Выход из такой ситуации лежит в принятии кардинальных
мер по преобразованию функционирования системы, например,
в установлении государственной монополии на внешнюю торговлю для
предотвращения вывоза капитала.

\medskip

{\it Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (код проекта 96-01-00982). }


\newpage
\centerline{\bf  Литература}
\vspace{12pt}

     \begin{enumerate}
\item
      Ю.П. Иванилов, А.В. Лотов. Математические модели в
экономике. М., Наука, 1979.
\item
     С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. М., Наука, 1984.
\item
     Государственные краткосрочные облигации: теория и практика рынка.
      М. ММВБ, 1994.
\item
     А.П. Афанасьев, В.В. Дикусар, А.А. Милютин, С.А. Чуканов.
     Необходимое условие в оптимальном управлении. М., Наука, 1990.
    \end{enumerate}

\bigskip

\newpage
     \thispagestyle{empty}


\noindent     УДК 517.977

\vspace{12pt}
\begin{center}
{\bf     Абрамов А.П.
\vspace{12pt}

Нерегулярные точки в одной модели "серой" экономики.
}
\end{center}
\vspace{12pt}

  Рассматривается полукриминальная ("серая") экономическая система,
в которой частный сектор экономики все свободные финансовые ресурсы
переводит за рубеж и/или вкладывает в высокодоходные государственные
ценные бумаги. Управлениями в модели являются
инвестиции, которые осуществляет государство, и заимствования
финансовых ресурсов государством в частном секторе экономики.
Показано существование нерегулярных точек в этой модели и приведена
 экономическая интерпретация соответствующих условий.
Библиогр. 4 назв.

 Abramov A.P. Nonregular Points in a Model of
"Grey" Economy.

\end{document}

