Отдел теории функций комплексного переменного выделился из Отдела теории функций в 1964 году. Заведующим Отдела стал его организатор С.Н.Мергелян; первые сотрудники А.Г.Витушкин, А.А.Гончар и А.Ф.Леонтьев. С 1972 года Отдел возглавляет А.А.Гончар. В настоящее время научными сотрудниками Отдела являются академики А.Г.Витушкин и А.А.Гончар, член-корреспондент РАН С.Н.Мергелян (советник РАН), доктора физико- математических наук Е.М.Чирка и Е.А.Рахманов (внештатный сотрудник; последние годы работает заграницей, поддерживая тесные связи с Отделом), кандидаты физико-математических наук В.И.Буслаев, Н.Г.Кружилин, С.Ю.Оревков, С.П.Суетин. В 1999 г. в Отдел был принят С.Немировский. Традиционным направлением исследований в Отделе является теория приближений и представлений в комплексной области. В первые годы в работах сотрудников Отдела принципиальное развитие получили классические результаты М.В.Келдыша, М.А.Лаврентьева, С.Н.Мергеляна в этом направлении. Исследование вопросов о возможности равномерной рациональной аппроксимации функций на компактах в комплексной плоскости завершилось доказательством фундаментальной теоремы Витушкина. Широко известны работы А.Ф.Леонтьева, относящиеся к экспоненциальным полиномам и рядам Дирихле, результаты А.А.Гончара о наилучших приближениях рациональными функциями. С начала 70-х годов в работах А.А.Гончара и его учеников активно развивается проблематика, связанная с конструктивными методами рациональной аппроксимации аналитических функций, их теоретическому обоснованию и применениям. Результаты сотрудников отдела относятся к теории сходимости аппроксимаций Паде и более общих интерполяционных процессов, асимптотическим вопросам теории ортогональных многочленов, классическим задачам о скорости рациональной аппроксимации аналитических функций и другим разделам комплексного анализа (А.А.Гончар, Е.А.Рахманов, В.И.Буслаев, С.П.Суетин). Группу сотрудников Отдела, ведущих исследования по многомерному комплексному анализу, возглавляет А.Г.Витушкин. В Отделе получены важные результаты по теории вещественных многообразии в комплексном пространстве, теории аналитических множеств, граничным свойствам голоморфных функций многих комплексных переменных (А.Г.Витушкин, Е.М.Чирка, Н.Г.Кружилин, С.Ю.Оревков). В разные годы работы С.Н.Мергеляна, А.Г.Витушкина, А.Ф.Леонтьева были отмечены Государственными премиями СССР; А.А.Гончар - лауреат Демидовской премии 1999 г. Сотрудники Отдела неоднократно приглашались на Международные конгрессы математиков в качестве докладчиков: А.Г.Витушкин (1966, Москва; 1974, Ванкувер), А.А.Гончар (1966; Москва; 1986, Беркли), С.Н.Мергелян (1970, Ницца), Н.Г.Кружилин (1986, Беркли).