Отдел алгебры был создан в середине 30-х гг. Первым заведующим отделом был Б.Н.Делоне. В конце 30-х гг. и 40-х гг. в отделе работали О.Ю.Шмидт, С.А.Чунихин, И.М.Гельфанд, А.И.Мальцев. С 1946 г. в отделе работает И.Р.Шафаревич. В 1960 г. он становится заведующим отделом. Почти все последующие сотрудники отдела являются его учениками. К ним относятся А.И.Лапин (работал в 1950 и 1957-1969 гг.), А.И.Кострикин (с 1956 г.; с 1977 г. одновременно заведующий кафедрой высшей алгебры МГУ), С.П.Демушкин (с 1959 по 1975 гг.), А.Б.Жижченко (с 1959 по 1965 гг.), Ю.И.Манин (с 1960 г.), А.Н.Тюрин (с 1963 г.), В.А.Демьяненко (с 1967 по 1969 гг.), А.Н.Паршин (с 1968 г. с 1995 г. - заведующий отделом), С.Ю.Аракелов (аспирант с 1971 по 1974 гг.), В.В.Никулин (с 1987 г.), В.А.Колывагин (с 1988 г.), В.А.Абрашкин (с 1996 г.), В.С.Куликов (с 1974 по 1977 г. (аспирант) и с 1997 г. по наст. время). В разное время сотрудниками отдела являлись: С.П.Новиков (с 1960 по 1975 гг.), М.М.Капранов (с 1986 по 1990 г.). В отделе также работают: Ф.А.Богомолов (аспирант с 1970 по 1973 г. и сотрудник с 1973 г.), С.А.Степанов (с 1987 г.), А.И.Бондал (с 1994 г.), Д.О.Орлов (c 1996 г.), А.Т.Фоменко (с 1998 г.). Отдел алгебры поддерживает разносторонние связи с математиками других стран. Среди посещавших отдел: E. K"ahler, J. Tate, S. Lang, L. Bers, D. Mumford, P. Deligne, J.-P. Serre, R. MacPherson, Ph. Griffiths, D. Gieseker, M. Harris, J.-L. Verdier, M. Reid, H. Esnault, E. Vieweg, W. Baily, L. Breen, G. van der Geer, H. Koch, E.-W. Zink, T. Zink, R. Holzapfel, H. Opolka, M. Hazewinkel, M. Wodzicki, N. Schappacher, F. Hirzebruch, D. Zagier, J.W.S.Cassels, A. Todorov, M. S. Narasimhan, C. S. Seshadri, G. Prasad, M. Raghunathan, T. Shioda, Y. Miyaoka, F. Campana и другие. С 90-х гг. несколько сотрудников отдела работает за границей, сохраняя связь с отделом: Ю.И.Манин (Max Plank Instit"ut f"ur Mathematik, Bonn), Ф.А.Богомолов (Courant Institute for Mathematical Sciences, New York), С.А.Степанов (Bilkent University, Ankara). Основные направления исследований, плодотворно развивающиеся в отделе алгебры, относятся к алгебраической теории чисел, теории Галуа, теории групп и алгебр Ли, алгебраической геометрии, арифметике алгебраических многообразий, алгебраической и дифференциальной топологии, математической физике. Направления исследований и наиболее известные результаты. Алгебраическая теория чисел и теория Галуа Конструкция общего закона взаимности (И.Р.Шафаревич, А.И.Лапин), решение обратной задачи теории Галуа для разрешимых групп (И.Р.Шафаревич). Описание p-расширений локальных и глобальных полей: И.Р.Шафаревич; Х.Кох; Е.С.Голод и И.Р.Шафаревич (решение проблемы p-башни полей классов); С.П.Демушкин; В.А.Абрашкин. Теория эйлеровых систем (В.А.Колывагин). Теория групп и алгебр Ли Полупростые подгруппы групп Ли, нильмногообразия (А.И.Мальцев). Теория бесконечномерных представлений классических групп Ли (И.М.Гельфанд и М.А.Наймарк). Решение ослабленной проблемы Бернсайда для произвольного простого показателя (А.И.Кострикин). Классификация простых алгебр Ли в конечной характеристике (А.И.Кострикин и И.Р.Шафаревич). Целочисленные решетки и ортогональные разложения алгебр Ли (А.И.Кострикин). Теория лоренцевых алгебр Каца-Муди (В.А.Гриценко и В.В.Никулин). Алгебраическая геометрия. Геометрия семейств алгебраических многообразий: И.Р.Шафаревич (поверхности с пучком эллиптических кривых); Ю.И.Манин (связности Гаусса-Манина); А.Н.Паршин и С.Ю.Аракелов (теоремы конечности для семейств кривых). Теория векторных расслоений: классификация и теоремы Торелли для расслоений над алгебраическими кривыми; задача о связке квадрик; расслоения над бесконечномерным проективным пространством (А.Н.Тюрин). Теория алгебраических поверхностей К3 и многообразий с тривиальным каноническим классом: И.И.Пятецкий-Шапиро и И.Р.Шафаревич (теорема Торелли); А.Н.Рудаков и И.Р.Шафаревич (строение поверхностей К3 в конечной характеристике); В.В.Никулин (группы автоморфизмов; топологическая классификация); В.С.Куликов (эпиморфность отображения периодов); Ф.А.Богомолов (классификация многообразий с нулевым каноническим классом). Решение проблемы Люрота для трехмерных многообразий (В.А.Исковских и Ю.И.Манин). Плоские и проективные структуры на римановых поверхностях (А.Н.Тюрин). Теория стабильных векторных расслоений на алгебраических многообразиях (Ф.А.Богомолов). Топология алгебраических многообразий (А.Б.Жижченко; В.В.Никулин; В.С.Куликов) Арифметические дискретные группы в гиперболических пространствах и целочисленные решетки (В.В.Никулин). Гладкие инварианты комплексных алгебраических поверхностей (В.Я.Пидстригач и А.Н.Тюрин). Производные категории когерентных пучков на алгебраических многообразиях (М.М.Капранов; А.И.Бондал и Д.О.Орлов). Арифметика алгебраических многообразий. Диофантовы уравнения 3-ей степени (Б.Н.Делоне и Д.К.Фаддеев). Арифметика эллиптических кривых и абелевых многообразий: И.Р.Шафаревич (теория главных однородных пространств); А.И.Лапин (неограниченность ранга над функциональными полями); Ю.И.Манин (ограниченность р-кручения эллиптических кривых); В.А.Демьяненко (оценки для кручения эллиптических кривых); А.Н.Паршин (инвариантные высоты абелевых многообразий); Ф.А.Богомолов (l-адические представления групп Галуа, связанные с абелевыми многообразиями; группы точек конечного порядка). Теоремы конечности в диофантовой геометрии: Ю.И.Манин (доказательство гипотезы Морделла о рациональных точках над функциональными полями); А.Н.Паршин (метод разветвленных накрытий); В.А.Колывагин (конечность группы Ш для модулярных кривых). Арифметические поверхности (геометрия С.Ю.Аракелова). Арифметика рациональных и кубических поверхностей (Ю.И.Манин; В.А.Исковских). Теория p-адических L-функций и модулярных форм (Ю.И.Манин). Теория n-мерных локальных полей и ее применения к теории полей классов и теории алгебраических групп (А.Н.Паршин). Доказательство несуществования гладких абелевых схем над Z (В.А.Абрашкин). Алгебраическая и дифференциальная топология. Теория когомологических операций. Описание комплексных кобордизмов. Классификация гладких односвязных многообразий в размерности >4. Доказательство топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина. Теория слоений на гладких многообразиях. Основы эрмитовой К-теории (C.П.Новиков). Математическая физика. Решение периодической задачи для уравнения КдФ методами алгебраической геометрии (С.П.Новиков). Классификация инстантонов (В.Г.Дринфельд и Ю.И.Манин). Изучение моделей классической теории поля: супергеометрия, поля Янга-Миллса и теории струны (Ю.И.Манин; М.М.Капранов). Сотрудники отдела неоднократно приглашались на международные математические конгрессы в качестве докладчиков: И.Р.Шафаревич (Стокгольм, 1962; Ницца, 1970), А.И.Кострикин (Стокгольм, 1962; Ницца, 1970), С.П.Новиков (Стокгольм, 1962; Москва, 1966; Ницца, 1970), Ю.И.Манин (Москва, 1966; Ницца, 1970; Хельсинки, 1978; Беркли, 1986), А.Н.Паршин (Ницца, 1970), С.Ю.Аракелов (Ванкувер, 1974), Ф.А.Богомолов (Хельсинки, 1978), В.В.Никулин (Беркли, 1986), В.А.Колывагин (Киото, 1990). Среди сотрудников отдела - лауреаты Филдсовской (С.П.Новиков), Ленинской (И.Р.Шафаревич; Ю.И.Манин; С.П.Новиков), Государственной (А.И.Кострикин; С.А.Степанов), Ломоносовской (А.И.Кострикин) и других премий.