Отдел теории функций был организован в 1934 году на основе отдела того же названия Физико-математического института АН СССР (Ленинград), когда этот институт переехал в Москву и разделился на два института - математический и физический. Заведующими отдела в разные годы были всемирно известные ученые - академики Н.Н.Лузин, М.А.Лаврентьев, С.М.Никольский. Отдел сразу стал одним из основных научных центров в мире по теории функций и остается таковым поныне. В нем ведутся исследования по классическим и новым вопросам математического анализа, создаются и разрабатываются новые методы решения актуальных задач теории функций. Итоги многих исследований находятся на уровне лучших мировых достижений и часто, имея основополагающее значение, предопределяют развитие математики в этой области. Н.Н.Лузин является основателем большой математической школы. Его труды по теории тригонометрических рядов, метрической теории функций и теории функций комплексного переменного стали классическими. Их с большим успехом развивали сотрудники отдела его ученики и последователи: академики М.А.Лаврентьев, П.С.Новиков, члены-корреспонденты АН СССР Л.В. Келдыш, Д.Е.Меньшов, П.Л.Ульянов, Б.С.Кашин, доктора физ.-мат.наук С.В.Бочкарев, К.И.Осколков, С.А.Теляковский, В.Н.Темляков. Д.Е.Меньшов работал в отделе с первых дней его создания. Он разрабатывал теорию тригонометрических и ортогональных рядов, а также теорию моногенных функций и конформных отображений. В 1951 году ему за фундаментальные исследования по проблеме представления функций тригонометрическими рядами была присуждена Государственная премия, а в 1975 году за работы по суммированию тригонометрических рядов - академическая премия им.П.Л.Чебышева. Н.Н.Лузин - один из создателей дескриптивной теории функций. Особенно важно отметить открытие им проективных множеств, относительно которых он высказал мнение, которое подтвердилось в дальнейшем, что для них не может быть решен (в классическом смысле) ряд задач, в частности, вопрос об их измеримости. Эти его работы стимулировали исследования в области математической логики (П.С.Новиков). М.А.Лаврентьев разработал вариационные принципы конформных отображений, получил фундаментальные результаты по граничным свойствам аналитических функций и приближению непрерывных функций многочленами в комплексной области. Он решил ряд основных задач теории квазиконформных отображений, за что в 1946 году получил Государственную, а в 1958 году Ленинскую премии. Его ученик сотрудник отдела член-корреспондент АН СССР А.В.Бицадзе, применив методы теории функций комплексного переменного, решил ряд трудных принципиально важных задач теории уравнений с частными производными, в том числе и смешанного типа, член-корреспондент АН СССР, сотрудник отдела А.Ф.Леонтьев разработал теорию рядов экспонент. Интенсивно развивалась в отделе теория приближений функций. В этом направлении работали академики С.Н.Бернштейн, А.А.Гончар, М.В.Келдыш, М.А.Лаврентьев, С.М.Никольский, член-корреспондент АН СССР С.Н.Мергелян и др. В 1942 году С.Н.Бернштейну за фундаментальные результаты по теории приближения функций была присуждена Государственная премия. В 1952 году С.М.Никольскому за цикл работ, в частности за ставшую классической работу "Неравенства для целых функций и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных", и С.Н.Мергеляну за работы по наилучшим приближениям многочленами функций комплексного переменного были также присуждены Государственные премии. В 1948-1957 годах из отдела теории функций выделился отдел конструктивной теории функций, который возглавил академик С.Н.Бернштейн. Работы С.М.Никольского, установившего связь между гладкостью функций, их приближениями и вложениями классов функций, получившего впервые замкнутую теорию вложения функциональных пространств, послужили началом глубоких исследований в теории дифференцируемых функций многих переменных и ее приложениях к вариационным методам (С.М.Никольский и его ученики О.В.Бесов, Л.Д.Кудрявцев, П.И.Лизоркин). В 1972 году С.М.Никольский за монографию "Приближение функций многих переменных и теоремы вложения" получил академическую премию им.П.Л.Чебышева, а в 1977 году О.В.Бесову, В.И.Ильину и С.М.Никольскому за монографию "Интегральные представления функций и теоремы вложения" была присуждена Государственная премия. С.М. Никольскому была присуждена Золотая медаль им. И.М. Виноградова. В отделе была разработана теория вложений функциональных пространств с весом (О.В.Бесов, Л.Д.Кудрявцев, П.И.Лизоркин, С.М.Никольский). За исследование проблем краевых задач для дифференциальных операторов и их приложений в математической физике академику О.А. Олейник и чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцеву в 1988 году присуждена Государственная премия СССР. В 1952 году О.А. Олейник присуждена премия АН СССР имени Н.Г. Чеботарева; в 1964 году - премия имени М.В. Ломоносова за исследования по математическим проблемам теории пограничного слоя; в 1995 году - премия РАН имени И.Г. Петровского за исследования по асимптотическим методам в математической физике. В отделе активно развивалась теория ортогональных рядов, в частности: были начаты разносторонние исследования рядов по системе Хаара и их приложениям (П.Л.Ульянов); получены важные результаты по проблемам сходимости и суммируемости рядов Фурье по классическим и общим ортонормированным системам (С.В.Бочкарев, Б.С.Кашин, К.И.Осколков, С.Б.Стечкин, С.А.Теляковский, П.Л.Ульянов); решен ряд принципиальных вопросов построения базисов в функциональных пространствах (С.В.Бочкарев); по теоретическим задачам теории наилучших приближений в банаховых пространствах (С.Б.Стечкин), по определению поперечников классов функций (Б.С.Кашин, С.Б.Стечкин, В.Н.Темляков), по приближению функций многих переменных гармоническими многочленами и билинейными формами (П.И.Лизоркин, С.М.Никольский, В.Н.Темляков). Разработаны вероятностные (С.В.Бочкарев, Б.С.Кашин) и геометрические (Б.С.Кашин) методы исследования ортогональных рядов и приближений функций. Глубокие исследования были проведены по теории представления групп, спектральной теории линейных операторов и функциональному анализу (М.А.Наймарк). В 1993 году П.Л. Ульянову за исследования по метрической теории функций присуждена Государственная премия России. В вопросах численного анализа получены новые оценки для погрешностей квадратурных и кубатурных формул (С.М. Никольский, С.Л. Соболев). Получены оценки сходимости разностных приближенных методов решения краевой задачи Лапласа и разработан быстро сходящийся метод конформных отображений многосвязных многоугольников (Е.А.Волков). В 1984-1989 годах в отделе работал академик С.Л.Соболев. В это время он завершил переработку своей классической монографии "Некоторые применения функционального анализа в математической физике". В области нелинейного анализа разработан новый конструктивный метод вариационного исчисления - метод глобального расслоения, изучена разрешимость эллиптических задач во всем пространстве с суперкритическим показателем нелинейности, на основе нового класса вариационных тождеств создана теория отсутствия решения нелинейных задач (член-корреспондент РАН С.И.Похожаев). Ведутся исследования по спектральной теории как самосопряженных, так и несамосопряженных дифференциальных операторов, по проблемам сходимости спектральных разложений и по связи этой теории с проблемой полной интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений (академик В.А.Ильин). Ведутся исследования асимптотических свойств нелинейных уравнений с частными производными (академик О.А. Олейник). Интенсивно разрабатывается теория усреднения дифференциальных операторов и ее приложения в физике, механике и инженерных науках (академик О.А.Олейник). С.В.Бочкареву в 1977 году была присуждена международная премия им. Р.Салема за решение проблемы Банаха и его вклад в теорию общих ортогональных рядов. С.М.Никольскому в 1995 году присуждена Государственная премия Украины за работы по квадратурным формулам. Члены отдела неоднократно приглашались на Международные конгрессы математиков в качестве докладчиков: С.М.Никольский в 1954 году (Амстердам), А.А.Гончар в 1966 году (Москва), О.В.Бесов, В.А. Ильин, О.А. Олейник, С.Б.Стечкин, П.Л.Ульянов в 1970 году (Ницца), С.В.Бочкарев в 1978 году (Хельсинки), Б.С.Кашин в 1983 году (Варшава). Более 45 лет при отделе работает организованный С.М.Никольским и получивший мировое признание научно-исследовательский семинар по теории дифференцируемых функций многих переменных. В настоящее время им руководят С.М.Никольский, Л.Д.Кудрявцев и О.В.Бесов. В число его руководителей в разные годы входили также В.И.Кондрашов и С.Л.Соболев. В 1960-1988 годах Отделом заведывал академик С.М.Никольский, в 1988-1994 годах - член-корреспондент Российской АН Л.Д.Кудрявцев, с 1994 года отделом заведует член-корреспондент Российской АН О.В.Бесов. В настоящее время, кроме них, в отделе работают академики О.А.Олейник и В.А.Ильин, члены-корреспонденты РАН С.И.Похожаев, П.Л.Ульянов, Б.С.Кашин, доктора физико-математических наук С.В.Бочкарев, Е.А.Волков, С.А.Теляковский, В.Н.Темляков.