Отдел обыкновенных дифференциальных уравнений был создан в 1959 г. Л.С.Понтрягиным, который и руководил отделом до своей кончины в 1988 г. Надо отметить, что ещё задолго до того Л.С.Понтрягиным было выполнено несколько работ по теории дифференциальных уравнений и смежным вопросам. Тогда постановки соответствующих задач стимулировались главным образом беседами с А.А.Андроновым (и часть работ была выполнена совместно с ним, а одна - также с его сотрудником А.А.Виттом). Но основные интересы Л.С.Понтрягина в то время сосредотачивались на топологии, а упомянутые выше работы для него были эпизодическими (чего нельзя сказать об их значении для теории дифференциальных уравнений - одной из этих работ была работа о грубых системах!). В начале 50-х гг. у Л.С.Понтрягина созрело решение сменить тематику, целиком посвятив себя обыкновенным дифференциальным уравнениям (в широком смысле - включая задачи, связанные с теорией управления, которая в то время называлась (и была) теорией автоматического регулирования). В связи с этим осенью 1952 г. в МИАН начал работать руководимый Л.С.Понтрягиным семинар по этой тематике. Впоследствии от него ответвились несколько других семинаров, а сам он сохранился как общий семинар отдела. Первый значительный цикл работ, вышедший из этого семинара, был выполнен Л.С.Понтрягиным и Е.Ф.Мищенко. В них изучалась асимптотика релаксационных колебаний; постановка задачи стимулировалась контактами с нижегородскими учениками А.А.Андронова - это было как бы продолжение связи с самим А.А.Андроновым, к тому времени скончавшимся. Математически речь идёт о теории сингулярных возмущений (ТСВ), а именно, об исследовании периодических решений, близких к разрывным, для систем с малым параметром при части производных (Сюда примыкает ещё работа об инвариантных торах, выполненная Л.С.Понтрягиным совместно с нижегородским математиком Л.В.Родыгиным.) Позднее тематика отдела изменилась, но время от времени в нём возвращались к ТСВ. Из таких возвращений главными представляются следующие три. Д.В.Аносов (1959-61) рассмотрел вопрос об осреднении в системах с быстроколеблющимися решениями в том случае, когда колебания не сводятся к многочастотным и когда имеется обратное влияние медленных движений на быстрые; при этом им была высказана идея о сходимости по мере начальных значений. Л.С.Понтрягин и работавшая в то время в отделе М.А.Шишкова (1973 г.) обнаружили и частично исследовали на модельном примере явление затягивания, т.е. задержки ухода траекторий от положения равновесия системы быстрых движений, ставшего неустойчивым в результате бифуркации Хопфа. Обе эти работы были для отдела более или менее эпизодическими, но впоследствии нашли продолжение в исследованиях, проводившихся другими лицами вне отдела. Начиная с 1986 г., работы по ТСВ вновь заняли заметное место в тематике отдела. Е.Ф.Мищенко совместно с работающими в других местах Н.Х.Розовым (его учеником), учеником последнего А.Ю.Колесовым и с Ю.С.Колесовым исследовал различные явления, связанные с периодическими движениями и бифуркационными процессами в сингулярно возмущённых системах дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными). Второй, наиболее известный и обширный цикл исследований, начатый вскоре после первого и продолжающийся без перерывов по сие время, начался с исследования оптимальных режимов в управляемых процессах. Постановке задачи способствовали контакты со специалистами по теории автоматического регулирования (главным образом, А.А.Фельдбаумом). Математически речь идёт о вариационной задаче неклассического характера (что препятствовало использованию результатов вариационного исчисления в том виде, как оно сложилось к тому времени). Около 1955 г. Л.С.Понтрягин нашёл необходимое условие оптимальности, известное ныне как принцип максимума Понтрягина. Вначале он был гипотезой, подтверждавшейся как эвристическими соображениями, так и примерами (наряду с конкретными задачами теории автоматического регулирования, в которых ответ уже был известен, здесь надо отметить доказательство принципа максимума для широкого класса линейных систем, данное Р.В.Гамкрелидзе в 1957 г.) В 1958 г. В.Г.Болтянский доказал его в общем виде. С тех пор теория оптимальных процессов выросла в отдельное направление в теоретической и прикладной математике (в первой она сливается с существенно изменившимся за это время вариационным исчислением). Около 1960 г. Л.С.Понтрягин существенно расширил изучаемый круг вопросов, обратившись к дифференциальным играм. Ещё ранее последним были посвящены работы Р.Айзекса, рассмотревшим ряд конкретных примеров, но это не создало цельного научного направления, что произошло в результате начатых в отделе исследований, в которые вскоре включились и другие научные коллективы. В настоящее время работы по оптимальному управлению и дифференциальным играм продолжают составлять наиболее обширную часть научной продукции отдела. Основные направления исследований, ведущихся в отделе в этой области, суть следующие: геометрическая теория управления и смежные вопросы вариационного исчисления и геометрии; теория необходимых и достаточных оптимальности для негладких задач динамической оптимизации, в том числе, для систем описываемых дифференциальными включениями и систем с фазовыми ограничениями; теория стабилизации нелинейных управляемых систем и теория разрывного синтеза; теория четтеринг режимов; обратные задачи динамики управляемых систем и теория гарантирующего управления; теория дифференцмальных и эволюционных игр; многозначный и негладкий анализ. С 1988 г. по 1997 г, отдел возглавлял Р.В.Гамкрелидзе. С 1997 г. по настоящее время заведующим отделом является Д.В.Аносов.