Является известным специалистом в теории конденсированного состояния: равновесные и неравновесные фазовые переходы в полупроводниках и сверхпроводниках, физические явления в полупроводниковых и сверхпроводящих наносистемах, исследования в области наноэлектроники. Ю.В. Копаев в настоящее время является руководителем Отделения физики твердого тела ФИАН, председателем совета директоров Научно-образовательного центра ФИАН и МИЭТ, руководителем секции «Теория конденсированного состояния» при Президиуме РАН, членом совета по Физике полупроводников. Ю.В. Копаев является членом специализированных советов в ФИАН, ИОФАН, МИЭТ, членом комиссии по нанотехнологиям при Президиуме РАН. Ю.В. Копаев является профессором МИЭТ по кафедре «Квантовая физика и наноэлектроника». Совместно с Л.В. Келдышем является автором известной модели фазового перехода металл-полупроводник (экситонный изолятор): Келдыш Л.В., Копаев Ю.В. Возможная неустойчивость полуметаллического состояния относительно кулоновского взаимодействия, ФТТ, Т.6,N9, с. C.2791-2798, 1964. Им исследована возможность повышения температуры сверхпроводящего перехода из состояния, близкого к диэлектрическому: Копаев Ю.В. в книге Проблема высокотемпературной сверхпроводимости Под ред. В.Л.Гинзбурга и Д.А.Киржница , гл.5,9, 1977. Совместно с В.Ф. Елесиным исследованы свойства сильно неравновесного сверхпроводящего состояния: Елесин В.Ф., Копаев Ю.В., Сверхпроводимость с избыточными квазичастицами, УФН, т.133, в.2, с.259-307, 1981. Предложена концепция сверхпроводящего состояния с большим суммарным импульсом пар, основанная на чисто кулоновском механизме и объясняющая ключевые особенности купратных сверхпроводников: Белявский В.И., Копаев Ю.В., Сверхпроводимость отталкивающихся частиц, Успехи физических наук, т.72, №5, с.457-485, 2006. Является лауреатом Государственных премий 1982 и 1988 гг., премии Президента РФ в области образования, награжден орденом «Знак почета». Ключевые слова Теория твердого тела. Конденсированное состояние кристаллических и наносистем.