Протасов В.Ю. - специалист в области теории функций, теории матриц и оптимизации, автор более 70 научных работ, из них 2 монографий. Основные научные результаты Протасова В.Ю.: 1. Получил фундаментальные результаты о свойствах совместных спектральных характеристик линейных операторов (совместного спектрального радиуса, нижнего спектрального радиуса, показателя Ляпунова, р-радиуса), на их основе разработал эффективные методы вычисления данных характеристик. 3. Нашел полную классификацию масштабирующих уравнений (разностных функциональных уравнений со сжатием аргумента). Решил многолетние проблемы об устойчивости решений, о сходимости итерационного метода, о суммируемых решениях масштабирующих уравнений с неотрицательными коэффициентами. Решил проблему о вычислении гладкости решений масштабирующих уравнений многих переменных (совм. с М. Шариной). Результаты нашли применения в теории всплесков и теории приближений. 3. Обобщил Перрона-Фробениуса на полугруппы неотрицательных матриц. Ввел понятие примитивного семейства матриц и получил полную классификацию таких семейств (совм. с А. С. Войновым), а также к-примитивных семейств. Построил полиномиальные алгоритмы распознавания примитивности и к-примитивности. 4. В комбинаторике и теории чисел: нашел показатели асимптотического роста числа бинарных неперекрывающихся слов (совм. с Р. Юнгерсом и В. Блонделем), охарактеризовал асимптотическое поведение бинарной функции разбиения Эйлера, построил теорию к-циклотомических полиномов (совм. с Я. Вонгом). 5. В элементарной (классической) геометрии является учеником И.Ф. Шарыгина. Имеет работы по теореме В. Тибо, теореме Фейербаха, теореме о сегменте, теоремам о замыкании типа Понселе, классификации простых замкнутых геодезических на поверхности многогранников. Ключевые слова теория функций, теория всплесков, комбинаторика, оптимизация, геометрия