За период своей научной деятельности Ю.А. Митропольский обогатил математическую науку фундаментальными результатами в области асимптотических методов нелинейного анализа и способствовал их применению при исследовании нелинейных систем, которые моделируют явления реального мира. Основные научные достижения получены Ю.А. Митропольским в следующих научных направлениях: 1. Создание и математическое обоснование алгоритмов построения асимптотических разложений нелинейных дифференциальных уравнений, которые описывают нестационарные колебательные процессы. 2. Развитие одночастотного метода исследования нелинейной дифференциальной системы со многими степенями свободы. 3. Развитие метода интегральных многообразий в нелинейной механике и в теории нелинейных дифференциальных уравнений. 4. Развитие метода усреднения для уравнений с медленно меняющимися параметрами, а также уравнений с недифференцированными и разрывными правыми частями, для уравнений с запаздыванием, для уравнений со случайными возмущениями, для уравнений с частными производными и уравнений в функциональных пространствах; разработка метода усреднения относительно к задачам о разделении движения. 5. Разработка метода ускоренной сходимости в задачах нелинейной механики. 6. Развитие асимптотических методов для систем с распределенными параметрами. 7. Разработка метода декомпозиции некоторых классов дифференциальных уравнений высокой размерности и др. Ключевые слова математика, прикладная математика, нелинейная механика, математическая физика