Получил ряд результатов в области топологии многообразий, в том числе, разработал теорию элементарных преобразований специальных полиэдров, теорию сложности трехмерных многообразий, доказал эквивалентность гипотезы Зимана объединению гипотез Пуанкаре и Эндрюса-Kертиса, решил проблему Цишанга, совместно с А.Т. Фоменко построил гиперболическое трехмерное многообразие наименьшего объема. Завершил доказательство теоремы алгоритмической классификации трехмерных многообразий, включая алгоритмическую классификацию узлов. Построил теорию корней геометрических объектов, с помощью которой доказал ряд важных теорем о примарных разложениях различных объектов, включая гомологически тривиальные узлы в утолщенных поверхностях, виртуальные узлы, а также опроверг аналогичную «фольклорную» теорему для трехмерных орбифолдов. Впервые построил универсальный алгебраический инвариант классических узлов (который сейчас называется "quandle"). Построил теорию эффективного распознавания трёхмерных многообразий и вместе с учениками разработал пакет компьютерных программ, с помощью которого впервые составил интерактивную таблицу всех замкнутых неприводимых трехмерных многообразий до сложности 4 (всего более 100 тысяч многообразий). Разработал теорию обобщенных перестроек трехмерных многообразий, которая оказалась полезной для построения инвариантов конечного типа для трехмерных многообразий. Вместе с В.Г. Тураевым вычислил значения инвариантов Дейкграафа-Виттена для основных классов трехмерных многообразий, включая многообразия Зейферта. Ключевые слова топология, топология многообразий, компьютерная топология