Специалист в области нелинейного функционального анализа и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Им были открыты такие направления в нелинейном анализе, как: нормальная разрешимость нелинейных уравнений и нелинейная альтернатива Фредгольма; нелинейные вариационные тождества - тождества Похожаева; вложение нелиненых операторов и общая теория априорных оценок слабо нелинейных уравнений; глобальное расслоение в нелинейных вариационных задачах; нелинейные эллиптическая, параболическая и гиперболическая емкости и их приложения к проблемам глобальной разрешимости (теории катастроф решений нелиненых уравнений) и некоторые другие. Предложенные им методы позволили впервые установить не только достаточные, но и необходимые условия глобальной разрешимости нелиненйых задач. Им получены такие принципиально новые результаты как: существование и отсутствие решений нового класса нелинейных эллиптических задач, включая задачи произвольного порядка с нелинейными граничными условиями; существование и отсутствие прериодических решений для некоторых нелинейных гиперболических уравнений, включая многомерные уравнения с нелинейным главным оператором; создание “таблицы Менделеева” нелинейных уравнений и систем, для которых были установлены критерии разрушения (катастроф) решений, что дало возможность создать основы общей теории катастроф нелинейных процессов. Введенное им понятие "нелинейной емкости", порожденой нелинейным оператором позволило предложить новый (вариационный) подход к проблеме разрушения (blow-up) решений эволюционных нелинейных уравнений произвольного порядка. В случае нелинейных эллептических уравнений этот подход позволил установить теоремы типа Лиувилля на широкий класс нелинейных уравнений, включая уравнения с нелокальными нелинейностями. Определенным итогом этого цикла работ явилось создание фундамента общей теории критических нелинейностей уравнений в частных производных. Ключевые слова математика, прикладная математика, нелинейный функциональный анализ, нелинейные уравнения с частными производными