Н.Ю. Лукоянов – специалист в области математической теории управления и теории обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби. Основные направления исследований – формализация, обоснование и развитие принципов и конструкций динамического программирования для задач управления движением наследственных динамических систем, включая задачи управления в условиях помех или противодействия. Им найдены работоспособные, нелокальные и инфинитезимальные условия оптимальности в таких задачах, разработаны эффективные методы управления по принципу обратной связи с памятью, проведен анализ возможности программной реализации этих методов на супервычислителях. В приложение к задачам динамической оптимизации наследственных систем построена теория минимаксных решений неупреждающих функциональных уравнений Гамильтона–Якоби, получен ряд интересных результатов по вязкостным решениям таких уравнений. На основе построенной теории разрабатываются ориентированные на современные суперкомпьютерные технологии численные методы решения задач динамической оптимизации гарантии с учетом таких особенностей как: наличие помех и противодействий, соизмеримых по возможностям с управлением; запаздывание наблюдаемой информации, ограниченность ресурса и последействие в управлении; оценка качества движения управляемой системы по совокупности состояний, реализующихся в наперед заданные моменты времени. Ключевые слова математическая теория управления, дифференциальные игры, уравнения Гамильтона-Якоби