Созданные С.Л. Соболевым теория обобщённых решений дифференциальных уравнений с частными производными, теория обобщённых функций и теория вложения функциональных пространств стали той базой, на которой начало развиваться одно из важнейших направлений исследований теории дифференциальных уравнений с частными производными ХХ столетия. Замечательное начало этим исследованиям было положено знаменитой книгой Соболева «Некоторые применения функционального анализа в математической физике» (1950).
Эти результаты Соболева вызвали сильный резонанс в научном сообществе во всём мире и создали ему репутацию одного из крупнейших аналитиков в мире. В 1939 г. его избирают действительным членом Академии наук СССР.
Будучи по натуре прежде всего исследователем, С.Л. Соболев был и выдающимся педагогом, и замечательным организатором науки. Свою педагогическую деятельность он начал ещё в 1930 г. в Ленинградском электротехническом институте. Затем он продолжил её в Ленинградском университете, в Московском и Новосибирском университетах. Его лекции всегда отличала направленность на самые современные проблемы науки, желание вывести слушателя на её передний край, вовлечь его в исследовательскую деятельность. Его общие и специальные курсы лекций стали отправной точкой для его широко известных во всём мире монографий: «Уравнения математической физики», «Некоторые применения функционального анализа в математической физике», «Введение в теорию кубатурных формул». Из его семинаров вышли многие крупнейшие специалисты в различных областях математического анализа и его приложений. Невозможно переоценить роль знаменитого семинара, которым он руководил в Московском университете вместе с И.Г. Петровским и А.Н. Тихоновым с 1935 г. по 1958 г. (с естественным перерывом в годы войны). Этот семинар, направлявший исследовательскую работу в области теории уравнений с частными производными в Москве и далеко за её пределами, замечательным образом сочетая традиции петербургской и московской школ, способствовал росту нового поколения специалистов в области теории уравнений с частными производными (О.А. Ладыженская, О.А. Олейник и др.). На этом семинаре М.В. Келдышем были впервые доложены его знаменитые результаты по теории несамосопряжённых операторов.
Соболев создал большую научную школу, представители которой работают на всей территории нашей страны и далеко за её пределами. Многие крупные математики, никогда не слышавшие его лекций и не являющиеся его прямыми учениками, считают себя тем не менее его учениками – настолько велико влияние его методов на развитие математики ХХ века.
Выходец из семьи российских социал-демократов, будучи сам по натуре человеком социально активным, Соболев был ориентирован на общественное служение и был человеком, преданным коммунистическим идеалам. Член коммунистической партии с 1940 г., он избирался депутатом Верховного Совета РСФСР (1937), а также депутатом Московского и Новосибирского городских советов. Советское государство высоко ценило деятельность ученого. Он был удостоен Государственных премий и награждён семью орденами Ленина, орденом Октябрьской революции, орденом Трудового Красного Знамени, орденом Знак Почёта. За заслуги в реализации Атомного проекта в 1951 г. он был удостоен звания Героя Социалистического Труда.
