В 1928 г. был избран членом-корреспондентом АН СССР.
Ряд фундаментальных работ выполнен Л.И. Мандельштамом вместе с Н.Д. Папалекси. Это и создание нового направления – теории нелинейных колебаний, открытие новых видов резонанса, участие в создании новой области техники – радиогеодезии, нового вида генерации электромагнитных колебаний – параметрических машин… Он автор и соавтор (с Н.Д. Папалекси) примерно 60 патентов на изобретения. Даже простое перечисление сделанного еще в физике Мандельштамом заняло бы немало места.
С появлением Мандельштама в МГУ почти сразу вокруг него образовалась группа молодежи – студентов и преподавателей, составивших ядро школы Мандельштама. У него были ученики и в Страсбурге, и в Одессе – он давал темы, следил за их выполнением. Но в Москву он приехал уже Учителем – со своим взглядом на предмет физики, со сформировавшимся физическим мировоззрением; поэтому работы, выполненные в школе Мандельштама, различаясь тематически, едины по своему подходу к предмету изучения.
Мандельштам стремился выработать у своих учеников «колебательное мышление», задача, не потерявшая своей актуальности и сейчас. В конце жизни он широко трактовал понятие «теория колебаний»: основные физические законы, начиная с законов Кеплера в астрономии, были в своем большинстве, по его мнению, колебательными или колебательно-волновыми. С этой точки зрения, все, сделанное Мандельштамом в науке, относится к этой теории.
Важнейшими частями физического мировоззрения Л.И. Мандельштама были идея правильной идеализации (т.е. моделирование) изучаемых процессов; «колебательная взаимопомощь» (изоморфизм закономерностей, по А.А. Андронову), позволяющая переносить закономерности, установленные в одной области физики, на другую, независимо от их конкретного физического содержания; выработка нелинейного физического мышления. Собственно, Мандельштам учил правильно думать. А это задача теории познания, которая интересовала его всегда.
Еще при его жизни некоторые из учеников создали свои школы – И.Е. Тамм, Г.С. Ландсберг, А.А. Андронов, М.А. Леонтович, Г.С. Горелик, С.М. Рытов, С.Э. Хайкин и др. По воспоминаниям современников, «школа Мандельштама – это и особая атмосфера, полная взаимной доброжелательности».
